数学分析中的一致收敛性及其应用文献综述

文献综述

课题研究的现状及发展趋势：

在国内对于相关课题已被广泛研究，1991年海南师范学报第二期张国才和方良秋的《函数列一致收敛性判别法》，这篇文章参考数学分析中函数列的性质得出了函数列一致收敛性的基本方法，包括柯西判别法。1994年上海师范大学学报第23卷第三期张骏芳的《广义一致收敛与亚一致收敛》，这篇文章讨论了连续函数列的极限函数连续条件，采用了先把函数列为正则收敛减弱为弱正则收敛或一致收敛，再减弱为广义一致收敛，最后成为一个定理证明。1995年吉林师范学院学报第16卷上伟大的《关于一致收敛的判别问题》，这篇文章讨论了处处收敛与一致收敛的关系，得出了“单调的一致收敛函数列是一致收敛的”结论。2006年九江学院学报第一期陈白棣，王钧的《函数列一致收敛性判定方法》中的利用的思想方法，通过研究函数列在开区间端点的敛散性，判断函数列在开区间的敛散性，给出了判定一致收敛和非一致收敛的几种常用方法。2017年数学学习与研究鲍倚天的《函数项级数一致收敛基本判别法的讨论》中提供了关于函数项级数一致收敛基本的判定方法，通过分析、归纳、总结并结合相关例子说明方法的实用性，以方便读者更好的理解函数项级数，快速地对函数项级数是否一致收敛做出判定。2016年山东师范大学学报（自然科学版）李苓玉，范进军的《函数项级数一致收敛性及其应用》中运用数形结合的思想方法，借助MATLAB软件对函数项级数的一致收敛性进行了编程实现，给出了应用举例，揭示了函数序列动态收敛的过程，阐明了一致收敛的本质。2011年周口师范学院学报第二期苏婷，周静的《含参量反常积分一致收敛判别法探讨》中从华东师范大学数学系编《数学分析》（第三版）第十九章第二节一道习题入手，得到了判别含参量反常积分一致收敛的比较判别法、柯西判别法以及对数判别法。2013年沧州师范学院学报王金花，赵志平的《含参量反常积分的一致收敛性》中通过对积分变量作变量变换将两种含参量反常积分的一致收敛性建立联系，给出了借助含参量无穷限反常积分的一致收敛性判断含参量无界函数反常积分一致收敛性的一种方法，从而在一定程度上将二者统一，加深读者的理解与认识。还有很多学者研究了数学分析中的一致收敛的各个方面，不仅为未来的研究指明了方向，而且在学术界得到广泛应用，同时也为本文提供了理论依据和参考。一致收敛性作为一个非常重要和有研究意义的课题，在未来一定会被后人继续广泛研究。

本课题研究的意义和价值：

一致收敛理论是数学分析的一个重要的研究分支。一致收敛概念及判定的掌握是学习数学分析的重点和难点，而且一致收敛在泛函分析、偏微分方程等学科中也有广泛而深入的应用。由于本课题在数学领域中对初学者来说比较难理解，难以掌握与应用，所以研究此课题目的是让初学者掌握该课题知识，学会分析，提高自己的综合能力。让学生对于一致收敛的定义能够有更深入的理解，能够快速准确的选择合适的方法进行一致收敛性的判定，以及对该性质的应用。函数列一致收敛性在求解极限领域中起着及其重要的作用，它不仅有助于提高我们对极限认识清晰度，而且更能帮助我们领悟一致收敛这一性质。函数项级数既可以被看作是对数项级数的推广, 同时数项级数也可以看作是函数项级数的一个特例, 它们在研究内容上有许多相似之处。对于函数项级数, 我们不仅要讨论它在哪些点上收敛, 而且更重要的是要研究和函数所具有的解析性质. 比如能否由函数项级数的每项连续、可积、可微, 判断出和函数的连续性、可积性和可微性。这些都要对函数项级数的收敛性提出更高的要求。含参量反常积分不仅是反常积分的延伸和推广，也是研究和表达函数（特别是非初等函数）的有力工具，并为研究多元函数的积分打下了坚实的基础。讨论含参量反常积分及其一致收敛性，对后继课程的学习和研究有着深远的意义和影响。

参考文献：

【1】华东师范大学数学系.数学分析第四版下册【M】.北京：高等教育出版社，2010,28-46，192-202

【2】武汉大学数学系.数学分析下册【M】.北京：人民教育出版社，1978,30-46，350-366

【3】（美）W.卢丁.数学分析原理下册【M】.北京：人民教育出版社，1979,1-31

【4】欧阳光中，姚允龙，周渊.数学分析（上册）【M】.上海：复旦大学出版社，2002,350-366